Автор: Рухманова Вера Вячеславовна
Решение заданий № 17 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Подготовила : учитель МОУ СОШ п. Прудовой Екатериновского района Саратовской области. 2020 г.
Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.
Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.
С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).
Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:
• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);
• выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся;еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);
• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;
• решение полученного уравнения, неравенства или системы;
• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.
Рекомендуем вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.
Если все эти правила вам хорошо знакомы и текстовые задачи вы решаете, в принципе, неплохо, то есть умеете составлять математические модели словесно описанных процессов, то дальше нужно выяснить, насколько хорошо вы владеете таким понятием как «процент». Для этого можно решить следующую устную задачку: «Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену?»
«Очевидный» (и неправильный) ответ – на столько же, хотя на самом деле снизить надо на 20%.
Если приведенная выше задачка не загнала вас в тупик, то, немного потренировавшись в вычислении «простых» процентов, можно переходить к освоению формулы «сложных процентов» и ее применению в задачах с экономическим содержанием. Следующий этап – решение задач на банковские вклады, ведь такие задачи уже можно встретить в вариантах КИМ ЕГЭ.
Например: «Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн. рублей». (Ответ: 8.)
Сравнительно недавно в вариантах КИМ появились задачи, темой которых являются банковские кредиты. Для решения таких задач необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковскому кредиту, – дифференцированной и аннуитетной. В основе этих схем лежит уже известная нам формула «сложных» процентов, а также свойства арифметической и геометрической прогрессий. Поэтому прежде чем начинать знакомиться с «кредитной» математикой необходимо повторить некоторые свойства уже упомянутых прогрессий – вам понадобятся определения, формулы n-го члена и суммы n последовательных членов каждой из прогрессий.
При решении задач, в которых речь идет о выплате кредита в соответствии с дифференцированной или аннуитетной схемой, можно действовать двумя способами: либо использовать готовые формулы, полученные в ходе построения соответствующей математической модели, либо вычислять размер очередного платежа пошагово. Выбор способа зависит от условия задачи. Конечно, есть и еще некоторые хитрости в построении решения, которые надо знать.
К наиболее сложным задачам с экономическим содержанием относятся так называемые «задачи на оптимизацию» или экстремальные задачи. Эти задачи описывают разнообразные ситуации, с которыми граждане, предприятия и компании могут встретиться в своей экономической деятельности. К решению таких задач есть несколько подходов, из которых наиболее часто используются метод перебора вариантов и логических рассуждений и исследование функций элементарными методами и с помощью производной.
Как правило, при решении данных задач необходимо либо провести непосредственные вычисления и сравнить их результаты, либо составить уравнение (систему уравнений) и решить его (ее) с учетом некоторых дополнительных условий (например, в целых числах), либо построить функцию, устанавливающую связь между двумя экономическими величинами (например, между объемом производства и прибылью компании), и исследовать ее на экстремальное значение с помощью производной, опять же с учетом того, что данная функций описывает некий реальный процесс, от чего могут зависеть какие-то ограничения на область определения или область значений.
Задачи на оптимизацию – это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по смыслу (но не по методам решения) к следующей по сложности задаче вариантов КИМ ЕГЭ – задаче с параметром.
Например, на пробном экзамене в 2020 году предлагалась следующая непростая задача: «Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна t2
тыс. рублей в конце каждого года t (t=1, 2, …)
. Фонд может продать все акции в конце каждого года и положить все вырученные от продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящуюся на счете, в r раз, где r – некоторое положительное число больше единицы. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-го года, то в конце 25-го года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число r».
РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ.
В этом разделе будут рассмотрены задачи на вычисления связанные с кредитованием, а именно нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.) выплат, количество лет. Данные подсчеты экономически целесообразны в связи с тем, что каждый человек при заключении договора определяет наиболее выгодные для себя условия.
Такие задания классифицируются на простые, решения которых ограничиваются одной формулой, и сложные решение которых требует составления систем, решение неравенств и т.д.
Для многих задач данного типа удобно использовать формулы, выведение которых представлено ниже.
Рассмотрим основные элементы, которые встречаются в задачах, и дадим им характеристику:
- S – сумма, которую берут в кредит
- r – годовая/месячная ставка
- k – число, показывающее во сколько раз увеличивается сума S перед банком (k = 1+0,01*r)
- x - выплата
- n – количество лет/месяцев, за которое необходимо выплатить кредит
- F – сумма, которую в итоге придется вернуть банк
- P – переплата, равная F - S
4.1. Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат.
Первая формула на нахождение суммы долга, обычно в задачах условия кредитования следующие: в банке берется кредит и увеличивается на r процентов, затем вносится выплата, и сумма оставшегося долга увеличивается на r процентов, и так через n лет происходит погашение кредита.
Задача1. [6] В июле планируется взять кредит на сумму 6 409 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение.
- Составим краткую запись:
S = 6 409 000 рублей
r = 12, 5% k = 1+0,01r = 1,125 =
х = ? рублей
n = 2 года
- Проиллюстрируем процесс кредитования на спирали:
Заметим, что кредитование похоже на цикл, в котором можно выделить три этапа: долг перед банком, выплата, остаток. Перенесем все данные в таблицу.
- Перенесем данные в таблицу:
Долг (S*k) |
Выплата |
Остаток |
Sk |
x |
Sk-x |
k(Sk-x) |
x |
k(Sk-x)-x |
Долг (S*k) |
Выплата |
Остаток |
6 409 000 * |
x |
6 409 000 *-x |
* (6 409 000 *-x) |
x |
* (6 409 000 *-x) - x |
- Составим уравнение, где последний остаток равен нулю, чтобы узнать размер выплаты
* (6 409 000 *-x) – x = 0
6 409 000 * - х – х = 0
- х = -
x = *
x = 3 817 125 (рублей)
Ответ: 3 817 125 рублей
Рассмотрим вторую задачу такого же типа.
Задача 2. [6] В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей
Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение.
Так же запишем краткую запись:
S = ? млн рублей
r = 20%
k = 1, 2
x = 2, 16 млн рублей
n = 3 года
Долг (Sk) |
Выплата |
Остаток |
Sk |
x |
Sk-x |
k(Sk-x) |
x |
k(Sk-x)-x |
k(k(Sk-x)-x) |
x |
k(k(Sk-x)-x)-x |
Раскроем скобки
Долг (Sk) |
Выплата |
Остаток |
Sk |
x |
Sk-x |
Sk2-kx |
x |
Sk2-kx - x |
Sk3-k2x - kx |
x |
Sk3-k2x - kx - x |
Sk3-k2x - kx – x = 0
Sk3 =k2x + kx + x
Sk3 = х (k2+ k + 1) (сделаем замену числа k)
S*1, 23 =х (1,22+ 1,2 + 1) (сделаем замену числа х)
S =
S =
S = 4, 55 (млн рублей)
Ответ: 4,55 млн рублей
Заметим, что обе задачи решаем по одной схеме. Различия в том, что в первой задаче ищем размер выплат, а во второй задаче – сумму, взятую в кредит. В обеих задачах приходим к одной формуле.
Задача 1. k(Sk-x)-x=0(последний остаток равен 0) , отсюда
С этого момента можем получить две формулы.
1. 2.
Задача 2. (последний остаток равен 0) , отсюда
С этого момента можем получить две формулы.
1. 2.
Задача 3. [5] 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)
Решение. Снова нарисуем спираль.
Решение.
Краткая запись:
S = 9 282 000 млн
r = 10% (годовые)
k = 1+0,01r = 1 + 0,01*10 =1,1
n = 4 года
х =? рублей
Долг(S*k) |
Выплата |
Остаток |
Sk |
х |
Sk - x |
k(kS-x) |
x |
K(kS-x) - x |
k(k(kS-x) - x) |
x |
K(K(kS-x) - x) - x |
K(K(K(kS-x) - x) - x) |
x |
K(K(K(kS-x) - x) - x) - x |
Раскроем скобки
Долг(S*k) |
Выплата |
Остаток |
Sk |
х |
Sk - x |
k2S-kx |
x |
k2S-kx - x |
k3S-k2x- kx |
x |
k3S-k2x - kx - x |
k4S-k3x – k2x - kx |
x |
k4S-k3x - k2x - kx-x |
*Примечание: на основании этой таблицы, можно вывести формулу
KnS – kn-1x – kn-2x – kn-3x - …. - kx –x = 0
Составим уравнение, где последний остаток равен нулю.
k4S-k3x - k2x - kx-x = 0 (подставим вместо k число )
()4S = x(()3 + ()2 + + 1)
()4S = x (+ + + 1)
()4S = x
114*S÷104 = 4641x÷103
4641x*104 = 114S*103
x = 114S*103 ÷ 4641*104 (заменим S на 9 282 000)
12
x = 14 641 * 9 282 000 ÷ 4641
x = 2 928 200
Ответ: 2 928 200 рублей
Второй способ решения задачи.
Назовем эти задачи А) Задачи на равный размер выплат.
Зная, что мы долг должны погасить четырьмя равными платежами запишем формулу
последнего остатка k4S-k3x - k2x - kx-x = 0. Отсюда выведем
k4S=k3x + k2x + kx+x .
; Если бы мы искали S, то получили бы формулу ;
На основании решений задач 1, 2, 3 запишем формулы
; ;
- Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.
Следующий тип задач назовем тип Б) Задачи на сокращение остатка на одну долю от целого
Пример решения задачи типа Б:
Задача 4. [5] 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го числа пло14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банке 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение.
Краткая запись:
S =? рублей
r = 3%
k = 1+0,01*3 = 1,03
Сумма x за 12 месяцев = 466,5 тыс. рублей
n = 24 месяца
С каждым месяцем долг будешь уменьшаться в , …. ,, 0
Долг (S*k) |
Выплата |
Остаток |
Sk |
Sk -S= S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk -S = S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk -S = S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk - S =S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk -S =S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk -S = S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk -S = S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk - S = S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk -S = S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk -S= S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk - S =S(k-1)+S |
S |
Sk |
Sk - S = S(k-1)+S |
S |
Составим уравнение, где сумма всех выплат будет равняться всем выплатам за год кредитования. Найдем сумму кредита.
S(k-1)*(1 + + +++++++++) + S = 466 500
S(k-1)* + S = 466 500 (заменим число k на 1,03)
S(1,03-1)* + S = 466 500
S*(0,03* + ) = 466 500
= 466 500
S =
S = 600 000 (рублей)
Ответ: 600 000 рублей
Запишем общую формулу для решения данной задачи.
-сумма выплат
Применим ее для решения следующей задачи.
Задача 5. [3] 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
.
Подставим в формулу наши данные, получим
Сгруппируем ;;;;;
;;.
Получим 9 пар по 1. Поэтому
.
Ответ: 3%
Задача 6. [4] В июле планируется взять кредит на сумму 18 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит , если известно, что общая сумма после выплат после его погашения составит 27 млн. рублей.
Решение. Снова обратимся к той же формуле
F-сумма выплаченная банку, P-переплата
Подставив в эту формулу найдем
Ответ: 9 лет.
Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать. Впрочем, этот совет – универсальный.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
Интернет-источники:
1.Web –Википедия «Процент»https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82
2.РЕШУ ЕГЭ Образовательный портал для подготовки к экзаменам/ https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1
3.Самообразование. Главная > 2017: ЕГЭ, ОГЭ Предметы > ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень / http://self-edu.ru/ege2017_36.php
Литературные источники:
4.И.В.Ященко «ЕГЭ-2018 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ» - М., Национальное образование, 2018г.
5. И.В.Ященко «ЕГЭ-2017 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ» -М. , Национальное образование , 2017г.
6.А.В. Семенов, И.В.Ященко «КАК ПОЛУЧИТЬ МАКСИМАЛЬНЫЙ БАЛЛ НА ЕГЭ МАТЕМАТИКА »-М., Интеллект -центр , 2015г.
7.А. Г. Малкова «МАТЕМАТИКА АВТОРСКИЙ КУРС ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ»_ Ростов – на- Дону, Феникс, 2017г.